Геометрия - раздел математики, тесно связанный с понятием пространства; в зависимости от форм описания этого понятия возникают различные виды геометрии. Предполагается, что читатель, приступая к чтению этой статьи, обладает некоторыми представлениями об элементарной геометрии, а также о законах арифметики и алгебры. См. также АЛГЕБРА
; АРИФМЕТИКА
; ГЕОМЕТРИЯ
.

Первый важный вопрос: как описать наше понятие пространства. В поисках ответа перед нами открывается несколько возможностей, но проще, а возможно, естественнее и полезнее воспользоваться для этого понятиями "точка" и "прямая". Оба они коренятся в процессе визуального восприятия. Точку можно мысленно представлять как "точку зрения", из которой ведется наблюдение, а прямую, определяемую двумя объектами, считать состоящей из множества точек зрения, при наблюдении из которых один объект заслоняет другой. При таком подходе вводится понятие "прямизны", которое воплощается в термине "прямая линия" (или просто "прямая"). Можно считать, что мы абстрагировали понятия "точка" и "прямая" из окружающего мира. В нашем повседневном опыте коренится еще одно представление - о расстоянии АВ между точками А и В. (Мы говорим также о "длине" отрезка АВ.) О расстоянии мы судим, сравнивая его с некоторым эталоном. Одна из возможных единиц длины - метр; изготовив копии с эталона метра, мы сравниваем расстояния и говорим, что расстояние АВ больше (), равно (=) или меньше (<) некоторого другого расстояния CD.

Выбрав какую-либо прямую АВ и точку С, не лежащую на этой прямой, мы можем мысленно представить себе совокупность всех прямых, проходящих через точку С и различные точки прямой АВ. Все эти прямые лежат в плоскости АВС, определяемой точками А, В, С. Это обстоятельство вынуждает нас рассматривать понятие расстояния в более широком контексте; в частности, на плоскости АВС нас могут интересовать точки Р, находящиеся на постоянном расстоянии r от точки С. Тут уместно ввести понятие вращения вокруг точки С и сказать, что все такие точки лежат на "окружности" радиуса r с центром в точке С. Физически мы можем представить себе веревку длиной r, один конец которой закреплен в точке С; туго натянув веревку и вращая ее вокруг точки С, мы опишем другим концом окружность радиуса r, лежащую в плоскости АВС. Из нашего опыта мы знаем, что если радиус достаточно велик, то окружность пересечет прямую АВ в двух точках Р1 и Р2. Если мы начнем поворачивать отрезки Р1С и Р2С вокруг точек Р1 и Р2, то, как известно, найдется такая точка С?, что P1C = P1C. и P2C = P2C?; будем говорить, что прямая СС. "перпендикулярна" прямой АВ (рис. 1). Нет сомнения в том, что СС. пересечет АВ в некоторой точке D; все углы между АВ и CD мы назовем "прямыми углами", а длину d перпендикулярна CD - "расстоянием" от точки С до прямой АВ. Таким образом, мы получим практический способ построения перпендикуляра, "опущенного" из точки С на прямую АВ, и деления отрезка пополам (P1D = DP2).

Греческая геометрия. Все эти исследования геометрических отношений в окружающем их мире были сделаны обитателями древних цивилизаций до 4 в. до н.э., когда Евклид свел накопленные к тому времени математические знания в стройную логическую систему. Сейчас практически невозможно сказать, кому принадлежит та или иная теорема в Началах Евклида или кто сделал первый шаг по пути математического открытия. Однако есть исключения. Здесь имеется в виду прежде всего имя Пифагора, который в 6 в. до н.э. заметил, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей, построенных на его катетах. На рис. 1 (P1C)2 = (P1D)2 + (DC)2. Отсюда следует, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Начала Евклида начинаются с определений и аксиом, затем идут пять постулатов, из которых первые четыре утверждают: между любыми двумя точками можно провести прямую; любую прямую можно продолжить бесконечно; из всякого центра любым радиусом можно описать окружность; все прямые углы равны между собой. Ретроспективно постичь эти идеи не так уж трудно. Однако осознать их в качестве свойств нашего понятия пространства и абстрагировать таким образом, чтобы их можно было организовать в непротиворечивую систему, непросто; это явилось в свое время одним из величайших достижений человечества. Изложение Евклида было не лишено недостатков, о которых у нас пойдет речь ниже, но дерзость, с которой он осуществил свой замысел, не может не восхищать. В частности, столкнувшись с проблемой определения природы геометрического места точек плоскости р, находящихся на заданном расстоянии d от прямой l, лежащей в плоскости р, Евклид принял формальное предположение - пятый постулат (постулат о параллельных). Согласно этому постулату, если точка Р, принадлежащая плоскости р, не лежит на прямой l, лежащей в плоскости р, то существует только одна прямая l. в р, проходящая через точку Р, такая, что каждая точка прямой l. находится на одном и том же расстоянии d от прямой l; говорят, что l. "параллельна" l (рис. 2). Пятый постулат расходится с наблюдениями внешнего мира: обычно нам кажется, что параллельные прямые (например, железнодорожные рельсы) сходятся на горизонте. К этому вопросу мы в дальнейшем еще вернемся.

Начала Евклида состояли из 13 книг, в которых систематически изложены математические знания его времени относительно пространственных понятий, включая геометрическое представление рациональных чисел.

Среди тех, кто жил и творил после Евклида, выделяется прежде всего Архимед (ок. 287-212 до н.э.), чьи взгляды на мир были гораздо шире. Для него непременным атрибутом внешнего мира является движение и все, что с ним связано. Архимед заложил основы механики как науки, а также предвосхитил методы интегрального исчисления, которые впоследствии вошли в т.н. математический анализ. Именно Архимеду принадлежит заслуга осознания весьма любопытного факта, составляющего неотъемлемую часть нашего понимания пространства. Мы предполагаем, что можем достичь любой точки на прямой, сделав достаточное число шагов одной и той же длины. Это кажущееся очевидным допущение, ныне известное как аксиома Архимеда, играет важную роль в основаниях геометрии. Ранее в этой связи философ Зенон в 5 в. до н.э. поднял ряд трудных вопросов об истолковании понятий "точка" и "прямая", ставших головной болью философов и математиков вплоть до 19 в. Одна из знаменитых "апорий" (парадоксов) Зенона заключалась в том, что бегун, прежде чем добежать до конца дистанции, должен добежать до ее середины, а до этого - до середины половины дистанции и т.д., т.е. должен побывать в бесконечно многих точках, а сделать это за конечное время невозможно. Таким образом, бегун никогда не добежит до конца дистанции!

Аполлонию Пергскому, великому современнику Архимеда, мы обязаны созданием теории кривых, которые получаются при сечении конуса плоскостью. Ныне трудно оценить искусство, которое было необходимо для изучения всех фокальных и центральных свойств "конических сечений" с помощью построений циркулем и линейкой. Нам остается только констатировать, что с переходом к современным методам исследований осталось открыть лишь очень немногие свойства сечений (см. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ).

С именем последнего из греческих геометров Паппа Александрийского (ок. 250 - ок. 300) связана одна знаменитая теорема, утверждающая, что если точки А, В, С лежат на прямой l, а точки А?, В?, С. - на прямой l?, то точки пересечения L, M и N прямых АВ. и А?В, прямых АС. и А?C и прямых ВС. и В?С соответственно лежат на одной прямой (рис. 3). Это свойство точек и прямых не зависит от длины и расстояний; доказав свою теорему, Папп перебросил мост между греческой эпохой и начавшейся в 17 в. новой эрой великих математических открытий (см. также ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ).

Аналитическая геометрия. В Средние века Средиземноморская цивилизация постепенно распространилась на север и на запад, но серьезный интерес к математике так и не возродился вплоть до 17 в. Знаменитая Александрийская библиотека пострадала от пожара в 47 до н.э., поэтому о развитии греческой математики до нас дошли только отрывочные сведения. И хотя, несомненно, очень многое оказалось утраченным, не все было так уж плохо, поскольку греческому подходу свойственны определенные внутренние ограничения, на преодоление которых потребовалось бы время. В частности, именно в период между античностью и 17 в. арабы, опираясь на идеи математиков Древнего Вавилона и Индии, развили алгебраическую символику, которая, будучи соединенной с греческой геометрией в трудах П.Ферма (1601-1665) и Р.Декарта (1596-1650) позволила вдохнуть в геометрию новую жизнь.

По-видимому, сама идея описания положения точки на плоскости путем соотнесения ее с двумя прямоугольными координатными осями была довольно старой, но мысль о том, что любую точку Р плоскости можно обозначить ее прямоугольными или "декартовыми" координатами (х1, х2) и интерпретировать уравнение f (x1, x2) = 0 как уравнение, задающее плоскую кривую, несомненно, была революционной. Аналогично, в пространстве мы можем обозначить любую точку тремя координатами (x1, x2, x3), уравнением f (x1, x2, x3) = 0 задать поверхность, а системой уравнений

- линию пересечения двух поверхностей в пространстве.

В "аналитической" геометрии число координат называется "размерностью" пространства. Наряду с евклидовой геометрией, возникшей в качестве модели внешнего мира, можно рассматривать и абстрактную, не имеющую прямого к нему отношения геометрию пространства n измерений, где n - любое целое положительное число. В таком n-мерном пространстве точка определяется n координатами (x1, x2, x3, ..., xn) и уравнение f (x1, x2, x3, ..., xn) = 0 задает некоторое (n - 1)-мерное геометрическое место точек. Обобщая, можно сказать, что система из r уравнений, где r . n, задает (n - r)-мерное геометрическое место точек. Если оси координат взаимно перпендикулярны, то расстояние между двумя точками P (x1, x2, x3, ..., xn) и Q (y1, y2, y3, ..., yn) определяется обобщенным соотношением Пифагора

Из других обобщений теоремы Пифагора выводятся тригонометрические функции.

Теперь мы располагаем всем необходимым, чтобы ввести понятие вектора AB как направленного отрезка с началом в точке А и концом в точке В (см. также ВЕКТОР). Аналогично случаю треугольника, местонахождение вектора в пространстве неважно: вектор можно смещать при условии, что его величина и направление остаются неизменными. Величина вектора AB обозначается символом |АВ| и равна расстоянию между точками А и В. Если точки А и В имеют координаты (a1, a2, a3) и (b1, b2, b3), и мы запишем, что

то

Направление вектора AB определяется углами, которые он образует с осями координат. Обозначим эти углы ?1, ?2, ?3. Тогда (рис. 4)

Это т.н. "направляющие косинусы" прямой АВ.

Выясним теперь, как выглядит уравнение плоскости ?, проходящей через данную точку Q (y1, y2, y3) и перпендикулярной вектору с координатами l1, l2, l3. Из требования, чтобы точка P (x1, x2, x3) лежала в плоскости ?, следует, что отрезок PQ перпендикулярен этому вектору, поэтому геометрическое место таких точек задается линейным уравнением

Обратно, любое линейное относительно х1, х2, х3 уравнение определяет некоторую плоскость.

Из формулы для расстояния между точками мы получаем уравнение сферы радиуса r с центром в точке Q вида

Общее уравнение второго порядка относительно х1, х2, х3 задает поверхности второго порядка, или т.н. квадрики (если только оно не "факторизуется", т.е. не вырождается в произведение двух линейных множителей, задающих две плоскости). Квадрики бывают семи типов: цилиндр, конус, эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной гиперболоид, эллиптический параболоид и гиперболический параболоид. С помощью подходящего выбора координатных плоскостей уравнения центральных квадрик (эллипсоидов и гиперболоидов) можно привести к нормальному виду:

где а1, а2, а3 - длины "главных полуосей"; эти поверхности симметричны относительно начала координат, которое служит центром квадрик. Хотя параболоиды не имеют центров симметрии, за нормальные формы их уравнений можно принять следующие:

(эллиптический параболоид)

(гиперболический параболоид).

Некоторые из этих поверхностей являются "линейчатыми". Это означает, что через каждую точку такой поверхности можно провести по крайней мере две прямые, целиком лежащие на этой поверхности; в результате получим два семейства прямых, любое из которых образует всю поверхность. Эти прямые называют образующими.

Если мы ограничимся рассмотрением какой-нибудь одной плоскости, например, положив для этого в уравнении квадратичной поверхности x3 = 0, то получим уравнения конических сечений - кривых, по которым эти поверхности пересекают плоскость x3 = 0. Это - эллипс (частным случаем которого является окружность), гипербола и парабола (см. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ; КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ).

Исследование геометрических мест точек, заданных уравнениями, порядок которых больше двух, значительно сложнее. В 1704 И.Ньютон (1643-1727) классифицировал кубические кривые, и с тех пор кривые и поверхности третьего и четвертого порядков стали предметом интенсивного изучения. Хотя методы Декарта существенно упростили идеи греческой геометрии, они же породили много новых трудностей. Некоторые из этих трудностей были преодолены с помощью средств, которыми располагал математический анализ 19 в. Справиться с другими удалось лишь позднее, когда была создана т.н. алгебраическая геометрия (см. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ).

Интересно отметить, что аналитическая геометрия Ферма и Декарта появилась как раз в то время, когда И.Кеплер (1571-1630), исходя из многочисленных астрономических наблюдений, сделал вывод о том, что планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Это подготовило почву для открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Природа даже тогда, когда речь шла о местоположениях далеких планет, соответствовала описанию человеком его представлений о пространстве! Нужно ли удивляться, что для Ньютона "абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным". Для великого современника Ньютона Г. фон Лейбница (1646-1716) пространство было совокупностью всех возможных отношений расстояния. В следующем разделе мы будем понимать слово "пространство" в более ограниченном смысле.

Проективная геометрия. Наступление 17 в. ознаменовалось настоящим взрывом научной активности. В развитии математики началась новая эра; наряду с Декартом Ж.Дезарг (1593-1662) и Б.Паскаль (1623-1662) попытались по-новому и критически взглянуть на старую евклидову геометрию, чтобы понять, все ли ее результаты представимы в терминах одних лишь точек и прямых.

К возникшей в результате такого критического пересмотра проективной геометрии можно подойти, вводя новую систему аксиом, но гораздо поучительнее рассмотреть наши предыдущие исходные допущения и попытаться понять, как их надлежит изменить. Если следовать зрительным восприятиям, то первое, что сразу подпадает под подозрение, - это постулат о параллельных прямых. Нам кажется, что такие прямые все-таки пересекаются в бесконечности. Предположим, что это действительно так, и дополним евклидову плоскость одной "идеальной точкой" или "бесконечно удаленной точкой", общей для любого множества параллельных прямых. Тогда утверждение о том, что прямые l и m параллельны, перейдет в утверждение о том, что прямые l и m пересекаются в бесконечности. Необходимо доказать, что все такие идеальные точки ведут себя так, как если бы они принадлежали "идеальной прямой", которая обладает всеми свойствами, которыми по предположению обладают обычные прямые. Доказательство этого утверждения основывается на знаменитой теореме Дезарга: если соответствующие вершины двух треугольников можно соединить тремя прямыми, пересекающимися в одной точке, то соответствующие стороны пересекаются в точках, лежащих на одной прямой, и обратно.

Обосновав присоединение идеальных элементов к евклидовой плоскости, мы можем теперь сказать, что любые две прямые имеют точку пересечения, и в этом заключается основное отличие проективной геометрии. Аналогичным образом мы можем присоединить к трехмерному евклидову пространству "бесконечно удаленную плоскость" и построить проективное пространство любой размерности. Заметим, что теперь мы можем полностью отказаться от понятия "расстояние".

Нужно подчеркнуть, что проективная геометрия не есть что-то абстрактное, практически не связанное с внешним миром. Рассмотрим произвольную точку Р и любую плоскость ?, не проходящую через точку Р, в обычной евклидовой геометрии. Любая плоскость ?1, проходящая через Р, пересекается с плоскостью . по некоторой прямой l1; в частности, плоскость ?. , проходящая через точку Р и параллельная плоскости ?, пересекается с . по прямой l. , бесконечно удаленной прямой, лежащей в плоскости ?. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между плоскостями, проходящими через точку Р, и прямыми, лежащими в плоскости ?. Если воспользоваться интерпретацией

точка = прямая, проходящая через Р,

прямая = плоскость, проходящая через Р,

то можно проверить, что все аксиомы проективной геометрии выполняются, а потому "пучок" прямых и плоскостей, проходящих через точку Р, образует проективную геометрию плоскости.

Вклад Паскаля в геометрию заключается в том, что он показал проективную природу известных со времен Аполлония свойств конических сечений, которые позднее были переведены Декартом на алгебраический язык. Эта работа была завершена Ф.де Лаиром (1640-1718), и, хотя дальнейшее развитие проективной геометрии прервалось и затем продолжилось лишь в 19 в., начало критическому анализу понятия длины было положено. См. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
.

Непрерывность. Понятие касательной к кривой восходит по крайней мере к Архимеду, но только после того, как Ферма и Ньютон осознали его значение для дифференциального исчисления, это понятие обрело удобную для приложений явную форму. Однако прошло немало лет, прежде чем О.Коши (1789-1857) придал строгость огромному числу теорем, разложениям в степенные ряды, решениям дифференциальных уравнений и т.п., что позволило математическому анализу занять в математике место, сравнимое с геометрией. Понятие числа точек на прямой ничему не соответствует в нашем опыте визуального восприятия пространства, и именно это привело Зенона Элейского к упомянутым выше комментариям. Есть два способа интерпретации понятия непрерывности в терминах интуитивных представлений об окружающем нас мире: 1) через скрупулезный анализ отношений между точками и прямыми и 2) в терминах движения, т.е. средствами математического анализа (см. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ).

Конечная геометрия. Хотя целые числа возникают не обязательно в связи с точками прямой, тем не менее естественно рассматривать их как числа, представляющие кратные некоторого единичного отрезка. Это позволяет придать рациональным числам геометрическую интерпретацию, известную еще древним грекам. Однако такой подход к числу недостаточно тонок и сталкивается с трудностями, на которые и указал Зенон; наша концепция пространства включает в себя понятие числа, но для определения чисел понятие пространства не подходит.

Возвращаясь к аксиомам проективной геометрии (см. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ), заметим, что они не содержат понятия длины и не имеют следствием бесконечность числа точек на прямой. То, что число точек на прямой может быть конечным, подтверждается следующим примером. Предположим, что под точками мы понимаем 15 символов (ab), (ac), (ad), (ae), (af), (bc), (bd), (be), (bf), (cd), (ce), (cf), (de), (df), (ef), где (ij) = (ji). Существуют 35 прямых, каждая из которых содержит три и только три из этих точек. Такие прямые можно разбить на два типа:

1) прямая типа I содержит три точки вида (аb), (bc), (ca); таких прямых 20;

2) прямая типа II содержит три точки вида (ab), (cd), (ef); таких прямых 15.

Любая тройка точек, не принадлежащих ни к одному из этих двух типов, определяет некоторую плоскость; существуют 15 плоскостей, каждая из которых содержит семь точек и семь прямых. На прилагаемом рис. 5 показаны расположения точек и прямых на одной из этих плоскостей. (Заметим, что окружность представляет в конечной геометрии прямую.) Нетрудно проверить, что все аксиомы проективной геометрии выполняются, из чего мы заключаем, что они непротиворечивы, но такая геометрия не очень соответствует нашему представлению о пространстве. Чтобы перебросить мост между привычным понятием пространства и построенной нами геометрией, необходимо исследовать возможную связь между точками на прямой и числами арифметики.

Первым, кто предложил средства, позволяющие геометрически определять операции сложения и умножения, был немецкий математик К.Штаудт (1798-1867), но именно Д.Гильберт (1862-1943) продемонстрировал, что законы арифметики в их геометрической интерпретации зависят от двух теорем - Дезарга и Паппа. В случае конечной геометрии из теоремы Дезарга следует теорема Паппа, а потому если она верна, то верна и теорема Паппа. В этом случае и сложение, и умножение ассоциативны, коммутативны и дистрибутивны, и координаты, которые можно поставить в соответствие точкам на прямой, могут образовать конечное "поле". Если число точек на прямой бесконечно (например, если точки на прямой, за исключением бесконечно удаленной точки, могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с рациональными числами), то "сложение" точек на прямой ассоциативно и коммутативно при условии, что выполняется теорема Дезарга. Если размерность n 2, то это заведомо так. Однако из семи аксиом проективной геометрии теорема Паппа не следует; это означает, что умножение, будучи ассоциативным, необязательно коммутативно. При n = 2 теорема Дезарга может не выполняться, и "алгебра" точек на прямой еще более усложняется. Возможные недезарговы плоскости исследуются с 1902, но многое еще остается неизвестным.

Если потребовать, чтобы для каждого действительного числа нашлась соответствующая ему точка на прямой, то мы получим т.н. "непрерывную" геометрию. Это требование выполняется введением дополнительного предположения, которое в свою очередь можно использовать для доказательства теоремы Паппа. Такая аксиома непрерывности описывает тот аспект нашего понятия пространства, который был Лейбницем охарактеризован как "лабиринт континуума". Тем не менее роль алгебры в геометрии стала очевидна, и в дальнейшем обе эти ветви математики стали нерасторжимы.

Дифференциальная геометрия. Определив касательную к плоской кривой в точке (y1, y2) с помощью "углового коэффициента" m = dy2/dy1, мы можем записать ее уравнение в виде

Записанное с помощью дифференциалов, это уравнение принимает вид

и его непосредственное обобщение приводит к уравнениям касательной к неплоской кривой в точке (y1, y2, y3):

В то время как понятие углового коэффициента не допускает обобщения, понятие направляющего числа легко обобщается, и в качестве направляющих чисел рассматриваемой прямой можно принять дифференциалы. Уравнение соприкасающейся плоскости (плоскости касательных) к неплоской кривой задается определителем

Все эти уравнения имеют явный вид, если рассматриваемое геометрическое место точек задано аналитически, например, параметрически формулами y1 = y1 (t), y2 = y2 (t), y3 = y3 (t).

Дифференциальная геометрия стала самостоятельным разделом математики после того, как Б.Риман (1826-1866) заметил, что теорема Пифагора допускает дальнейшее обобщение, и предложил определять меру длины как

При n = 3 и gij = 1 (если i = j) и gij = 0 (если i . j) мы получаем евклидову геометрию в декартовых (прямоугольных) координатах; другие возможные выборы величин gij приводят к множеству новых геометрических систем, в частности, к геометрии специальной и общей теорий относительности. В конце 19 в. для разработки этих идей был изобретен тензорный анализ, который оказался одним из наиболее подходящих языков для современной физики.

Таким образом, методы математического анализа привели нас к идеям, весьма отличным от тех, которые были известны древним грекам. В частности, огромное значение получило понятие "геодезической" - линии, целиком лежащей на поверхности и являющейся кратчайшим путем между двумя точками. Если уравнение некоторой поверхности записать в параметрическом виде: x1 = x1 (u,v), x2 = x2 (u,v), x3 = x3 (u,v), то геометрические места точек u = const, v = const называются "параметрическими кривыми" этой поверхности, а параметры (u,v) задают на этой поверхности "криволинейные координаты". На поверхности Земли мы определяем свое местонахождение, указывая "широту" и "долготу"; из этих двух систем параметрических кривых линии долготы являются большими кругами и, следовательно, геодезическими. В случае декартовой геометрии параметрическими кривыми служат прямые, параллельные осям координат, и все такие прямые - геодезические. См. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
.

Неевклидова геометрия. Смелое допущение Евклида о параллельных прямых, содержавшееся в его знаменитом пятом постулате, почти две тысячи лет было для математиков источником смутного беспокойства, но серьезные попытки доказать его на основе иных допущений были предприняты только в 18 в. И хотя они оказались безуспешными, математикам все же удалось показать, что постулат о параллельных Евклида эквивалентен требованию равенства суммы углов треугольника двум прямым углам, или, что то же, . радианам. Поэтому скорее психологическим, чем математическим прорывом стало осознание существования двух других возможных вариантов: 1) сумма углов треугольника всегда больше ?; в этом случае параллельных прямых не существует, и любые две прямые пересекаются; 2) сумма углов треугольника всегда меньше ?; в этом случае для любой точки Р, не лежащей на данной прямой l, существуют две прямые l. и l??, проходящие через Р и параллельные данной прямой l, и любая прямая, лежащая внутри угла, заключенного между l. и l??, не пересекается с l. Непротиворечивость второго варианта была осознана К.Гауссом (1777-1855), но впервые опубликована независимо друг от друга Я.Бойяи (1802-1860) и Н.И.Лобачевским (1792-1856) в 30-х годах 19 в. Риман был первым, кто понял, что первый вариант реализуется в сферической геометрии, развитой для нужд астрономии и мореплавания.

Было бы ошибкой думать, будто математика на протяжении столетий не претерпела никаких изменений. Постижение тонких идей происходит медленно, и когда мы оглядываемся назад, в прошлое, наши величайшие достижения нередко представляются очень простыми. А.Кэли (1821-1895) и Ф.Клейн (1849-1925) прояснили связь между двумя упомянутыми вариантами, разработав в аналитической форме то, что ими было названо "эллиптической" и "гиперболической" геометриями. Евклидова геометрия является предельным случаем каждой из них, и это верно в отношении любой из аналитических формул таких геометрий. Большие круги (геодезические) на сфере, являющейся поверхностью постоянной положительной кривизны, играют роль прямых и порождают эллиптическую геометрию; аналогичным образом, на поверхности постоянной отрицательной кривизны геодезические порождают гиперболическую геометрию. Можно построить и другие наглядные и поучительные модели эллиптической и гиперболической геометрий, но важно сознавать, что все эти модели содержатся в более общем подходе Римана.

Трудно переоценить философское значение этих идей. Человек словно снял темные очки и увидел свое представление о пространстве "при дневном свете", что открыло новые, более интересные и захватывающие возможности, чем он мог себе вообразить. То, что Гаусс предпринял попытку измерить сумму углов треугольника, образованного тремя горными вершинами в Германии, было естественным следствием его понимания того, что постулат Евклида о параллельных явился результатом выбора из ряда возможностей, хотя выбора, несомненно, наилучшего для наших повседневных нужд. И хотя Гауссу не удалось обнаружить никаких отклонений от ?, выходящих за пределы допустимой экспериментальной ошибки, это отнюдь не положило конец попыткам предпринять аналогичные крупномасштабные измерения с помощью гигантских телескопов и электронных устройств (см. НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ).

В последние десятилетия наши представления о пространстве сильно изменились под воздействием повсеместного принятия в физике концепции "пространства-времени". Связывание воедино двух фундаментальных понятий вынуждает нас перенести все внимание с "положения" на "событие". Выбирая из многообразия римановых метрик некоторую, в чем-то более предпочтительную, мы может более удовлетворительным образом скоординировать результаты современной физики. См. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ
.

Понятие группы. Расцвет геометрических идей в 19 в. убедительно свидетельствовал о необычайной жизненности математических исследований в целом. Но, возможно, самым важным событием в развитии математического мышления в 19 в. стала постепенная кристаллизация понятия "группы" в алгебре и осознание его значения для геометрии.

Древние греки вполне могли бы натолкнуться на эту идею, будь они более настойчивы в поиске внутреннего смысла симметрии. К проблеме симметрии можно подходить двояко. Если геометрическая фигура остается инвариантной относительно вращения или, более общо, относительно какого-нибудь "преобразования", то можно выписать некоторую систему уравнений, выражающих эти преобразования аналитически. Но возможен и другой подход: мы можем представить себе, что геометрическая фигура остается неизменной, а меняется избранный нами способ ее описания относительно системы координат. По существу речь идет о двух возможных способах интерпретации одного и того же преобразования, но иногда одна интерпретация бывает предпочтительнее другой. Если мы имеем в виду все возможные линейные преобразования, которые оставляют фигуру инвариантной, то говорим, что эти преобразования образуют "группу", которую абстрактно можно определить следующим образом. Если обозначить эти преобразования Т1, Т2 и т.д., а совокупность всех таких преобразований - G, то для любых двух преобразований Ti и Tj из G должны выполняться следующие условия:

I. TiTj = Tk также принадлежит G;

II. Ti (TjTk) = (TiTj)Tk (свойство ассоциативности);

III. В G существует некоторое преобразование Т0, называемое тождественным преобразованием или единицей, такое, что TiT0 = T0Ti = Ti;

IV. Для каждого Ti из G существует "обратное преобразование" Ti-1, такое, что TiTi-1 = Ti-1Ti = T0.

Число g преобразований Т, содержащихся в G, называется "порядком" группы G. Существует 6 симметрий треугольника, они представлены на рис. 6. Нетрудно проверить, что если ограничиться только вращениями, то для тетраэдра g = 12, для куба и октаэдра g = 24, а для икосаэдра и додекаэдра g = 60. Если же кроме вращений допустить отражения и отражения с вращениями, то число g возрастет вдвое. То, что у куба и октаэдра должна быть одна и та же группа вращений, неудивительно, т.к. вершины одного многогранника служат центрами граней другого. Аналогичное утверждение справедливо относительно икосаэдра и додекаэдра. Эти фигура "двойственны" друг другу, тогда как тетраэдр "самодвойствен".

Все преобразования, о которых шла речь, линейны; они переводят точку в точку, прямую - в прямую и плоскость - в плоскость. Такие "коллинеации" имеют особое значение для описания нашего представления о пространстве, основанного на точках и прямых. Клейн первым понял, что множество всех линейных преобразований, оставляющих метрику инвариантной, позволяет адекватно описывать рассматриваемую геометрию, и это привело Клейна к классификации геометрий по их группам коллинеаций. В проективной геометрии метрика отсутствует, поэтому соответствующая ей группа называется "полной линейной группой". В евклидовой геометрии любое вращение оставляет инвариантной сумму квадратов координат, и соответствующая коллинеация называется "ортогональной"; т.к. комбинация двух ортогональных преобразований есть снова ортогональное преобразование, все ортогональные преобразования образуют "ортогональную группу". Параллельные переносы также оставляют метрику инвариантной, поэтому группа "перемещений фигуры как твердого тела" содержит ортогональную группу в качестве своей нормальной подгруппы. Такой подход к изучению геометрии был предложен Клейном в его Эрлангенской программе (1872), которая явилась большим шагом вперед, поскольку предлагала единую точку зрения на ранее существовавшие различные геометрии.

Понятие группы получило дальнейшее развитие. До сих пор мы предполагали, что каждое преобразование линейно, но это ограничение несущественно, коль скоро каждое преобразование имеет обратное, которое однозначно определено. Исследование таких "бирациональных" преобразований в общем виде началось с работ Л.Кремоны (1830-1903). В 1870 было доказано, что любое бирациональное преобразование может быть порождено составными квадратичными преобразованиями. Важно подчеркнуть существование некоторых особых точек или геометрических мест, для которых взаимно однозначное соответствие нарушается; именно это обстоятельство порождает специфические проблемы алгебраической геометрии, над решением которых билось немало математиков. См. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ
.

Топология. Общая теория групп преобразований была построена С.Ли (1842-1899), который почти в одиночку возделал огромную территорию математики, оказавшую впоследствии воздействие почти на все ее разделы. Что же касается влияния Ли на геометрию, то оно сказалось прежде всего на расширении самого смысла термина "геометрия", в результате чего граница между геометрией и анализом оказалась размытой. Та часть "ничейной земли", в которой алгебраический характер преобразования предается забвению, получила название "топологии". Топология имеет дело с взаимно однозначными и непрерывными преобразованиями, называемыми "гомеоморфизмами". Изучение топологических пространств позволило открыть множество красивейших теорем. С 1895, когда А.Пуанкаре впервые в явном виде рассмотрел гомеоморфные преобразования топологических пространств, и по сей день топология находится в состоянии интенсивного беспрецедентного развития.

Поясним суть ее проблем на одном примере. Возьмем некоторую поверхность и будем ее рассматривать как резиновую пленку, которую можно сжимать и растягивать, но не рвать. Тогда никакие из разрешенных операций не могут преобразовать сферу в тор (бублик); число дыр в поверхности называется ее "родом" и является "топологическим инвариантом". Аналогичный инвариант существует и для односторонних поверхностей, таких как лист Мёбиуса (см. также ТОПОЛОГИЯ).

Существует масса примеров, когда к топологии обращаются в поисках новых, стимулирующих идей и подходов, чувствуя, что иначе "не пробиться", как, например, в теории контурного интегрирования Коши. Наше представление о пространстве - это наиболее изученная модель, позволяющая лучше всего понять те абстракции, которые и составляют суть математики в целом. Именно такая интерпретация слова "геометрия" позволила уяснить истинное значение этой науки и причину, по которой люди занимаются ее изучением на протяжении вот уже 2500 лет.

в буквальном понимании - все геометрические системы, отличные от геометрии Евклида; однако обычно термин "Н. г." применяется лишь к геометрическим системам (отличным от геометрии Евклида), в которых определено движение фигур, причём с той же степенью свободы, что и в геометрии Евклида. Степень свободы движения фигур в евклидовой плоскости характеризуется тем, что каждая фигура без изменения расстояний между её точками может быть перемещена так, чтобы любая выбранная её точка заняла любое заранее назначенное положение; кроме того, каждая фигура может вращаться вокруг любой своей точки. В евклидовом трёхмерном пространстве каждая фигура может быть перемещена так, чтобы любая выбранная её точка заняла любое заранее назначенное положение; кроме того, каждая фигура может вращаться вокруг любой оси, проходящей через любую её точку.

Среди Н. г. особое значение имеют Лобачевского геометрия и Римана геометрия, которые чаще всего и подразумевают, когда говорят о Н. г. Геометрия Лобачевского - первая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида, и первая более общая теория (включающая евклидову геометрию как предельный случай). Геометрия Римана, открытая позднее, в некоторых отношениях противоположна геометрии Лобачевского, но вместе с тем служит ей необходимым дополнением. Совместное исследование геометрий Евклида (см. Евклидова геометрия), Лобачевского и Римана позволило в должной мере выяснить особенности каждой из них, а также их связи друг с другом и с другими геометрическими системами. Ниже обе Н. г. и геометрия Евклида сопоставляются как синтетические теории, затем в плане дифференциальной геометрии и, наконец, в виде проективных моделей.

Н. г. как синтетические теории. Геометрия Лобачевского строится на основе тех же аксиом, что и евклидова, за исключением только одной аксиомы о параллельных. Именно, согласно аксиоме о параллельных евклидовой геометрии, через точку, не лежащую на данной прямой а, проходит только одна прямая, которая лежит в одной плоскости с прямой а и не пересекает эту прямую; в геометрии Лобачевского принимается, что таких прямых несколько (затем доказывается, что их бесконечно много).

В геометрии Римана принимается аксиома: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит системе аксиом евклидовой геометрии с исключением аксиомы о параллельных. Т. о., система аксиом, лежащая в основе геометрии Римана, необходимо должна отличаться от системы аксиом евклидовой геометрии не только заменой одной аксиомы о параллельных другим утверждением, но и в части остальных аксиом. Различными в этих геометриях являются аксиомы, которые служат для обоснования так называемых отношений порядка геометрических элементов. Сущность в следующем: в евклидовой геометрии и в геометрии Лобачевского порядок точек на прямой является линейным, т. е. подобным порядку в множестве действительных чисел; в геометрии Римана порядок точек на прямой является циклическим, т. е. подобным порядку в множестве точек на окружности. Кроме того, в геометриях Евклида и Лобачевского каждая прямая, лежащая в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две части; в геометрии Римана прямая не разделяет плоскость на две части, т. е. любые две точки плоскости, не лежащие на данной прямой, можно соединить в этой плоскости непрерывной дугой, не пересекая данную прямую (топологической моделью плоскости Римана служит Проективная плоскость).

Требования аксиом, определяющих движение фигур, для всех трёх геометрий одинаковы.

Примеры теорем Н. г.

1) В геометрии Лобачевского сумма внутренних углов любого треугольника меньше двух прямых; в геометрии Римана эта сумма больше двух прямых (в евклидовой геометрии она равна двум прямым).

2) В геометрии Лобачевского площадь треугольника выражается формулой:

S = R²(π - α - β - γ), (1)

где α, β, γ - внутренние углы треугольника, R - некоторая постоянная, которая определяется выбором единицы измерения площадей. В геометрии Римана имеет место формула:

S = R²(α + β + γ - π) (2)

при аналогичном значении символов (в евклидовой геометрии зависимости между площадью треугольника и суммой его углов нет).

3) В геометрии Лобачевского между сторонами и углами треугольника существует ряд зависимостей, например

где sh, ch - гиперболические синус и косинус (см. Гиперболические функции), a, b, c - стороны треугольника, α, β, γ - противолежащие им углы, R - постоянная, определяемая выбором масштаба; для прямоугольного треугольника (с гипотенузой с и прямым углом γ) имеет место, например, равенство:

При некотором согласовании линейного масштаба и единицы измерения площадей постоянная R в формулах (1), (3), (4) будет одинаковой. Число R называется радиусом кривизны плоскости (или пространства) Лобачевского. Число R при данном масштабе выражает определённый отрезок в плоскости (пространстве) Лобачевского, который также называют радиусом кривизны. Если масштаб меняется, то меняется число R, но радиус кривизны, как отрезок, остаётся неизменным. Если радиус кривизны принять за масштабный отрезок, то R = 1. В геометрии Римана существуют сходные равенства:

(для произвольного треугольника) и

(для прямоугольного) при аналогичном значении символов. Число R называют радиусом кривизны плоскости (или пространства) Римана. Как видно из формул (4) и (6), в каждой из Н. г. гипотенуза прямоугольного треугольника определяется его углами; более того, в Н. г. стороны любого треугольника определяются его углами, т. е. не существует подобных треугольников, кроме равных. В евклидовой геометрии нет формул, аналогичных формулам (4) и (6), и нет никаких др. формул, выражающих линейные величины через угловые. При замене R на Ri

формулы (1), (3), (4) превращаются в формулы (2), (5), (6); вообще, при замене R на Ri все метрические формулы геометрии Лобачевского (сохраняющие при этой замене геометрический смысл) переходят в соответствующие формулы геометрии Римана. При R → ∞ и те и другие дают в пределе формулы евклидовой геометрии (либо теряют смысл). Стремление к бесконечности величины R означает, что масштабный отрезок является бесконечно малым по сравнению с радиусом кривизны (как с отрезком). То обстоятельство, что при этом формулы Н. г. переходят в пределе в формулы евклидовой геометрии, означает, что для малых (по сравнению с радиусом кривизны) неевклидовых фигур соотношения между их элементами мало отличны от евклидовых.

Н. г. в плане дифференциальной геометрии. В каждой из Н. г. дифференциальные свойства плоскости аналогичны дифференциальным свойствам поверхностей евклидова пространства (см. Дифференциальная геометрия); в неевклидовой плоскости могут быть введены внутренние координаты u, v, так что дифференциал ds дуги кривой, соответствующий дифференциалам du, dv координат, определяется равенством:

ds² = Edu² + 2Fdudv + Gdv² (7)

Пусть, в частности, в качестве координаты u произвольной точки М берётся длина перпендикуляра, опущенного из М на фиксированную прямую, а в качестве координаты v - расстояние от фиксированной точки О этой прямой до основания указанного перпендикуляра; величины u, v следует брать со знаком, подобно обычным декартовым координатам. Тогда формула (7) для плоскости Лобачевского будет иметь вид:

а для плоскости Римана

R - та же постоянная, которая входит в формулы предыдущего раздела (радиус кривизны). Правые части (8) и (9) суть метрические формы поверхностей евклидова пространства, имеющих соответственно постоянную отрицательную кривизну К = - 1/R² (как, например, псевдосфера) и постоянную положительную кривизну К = 1/R² (как, например, сфера). Поэтому внутренняя геометрия достаточно малой части плоскости Лобачевского совпадает с внутренней геометрией на соответствующей части поверхности постоянной отрицательной кривизны. Аналогично, внутренняя геометрия достаточно малых частей плоскости Римана реализуется на поверхностях постоянной положительной кривизны (поверхностей, которые реализуют геометрию всей плоскости Лобачевского, в евклидовом пространстве нет). При замене R на Ri метрическая форма (8) переходит в метрическую форму (9). Так как метрическая форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, то при такой замене и другие метрические соотношения геометрии Лобачевского переходят в метрические соотношения геометрии Римана (что уже было отмечено выше). При R = ∞ каждое из равенств (8) и (9) даёт

ds² = du² + dv²,

т. е. метрическую форму евклидовой плоскости.

Трёхмерные неевклидовы пространства по своим дифференциальным свойствам относятся к числу римановых пространств в широком смысле (см. Риманово пространство) и выделяются среди них прежде всего тем, что имеют постоянную риманову кривизну (см. Риманова геометрия). Как в двумерном, так и в трёхмерном случае постоянство кривизны обеспечивает однородность пространства, т. е. возможность движения фигур в нём, причём с той же степенью свободы, как (соответственно) на евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве. Пространство Лобачевского имеет отрицательную кривизну, равную - 1/R², пространство Римана - положительную кривизну, равную 1/R² (R - радиус кривизны). Евклидово пространство занимает промежуточное положение и является пространством нулевой кривизны.

Пространства постоянной кривизны могут иметь весьма разнообразное строение в смысле топологии (См. Топология). Среди всех пространств постоянной отрицательной кривизны пространство Лобачевского однозначно выделяется двумя свойствами: оно полно (в смысле полноты метрического пространства (См. Метрическое пространство)), топологически эквивалентно обычному евклидову пространству. Пространство Римана среди всех пространств положительной кривизны однозначно выделяется свойством топологической эквивалентности проективному пространству. Аналогичными условиями выделяются многомерные пространства Лобачевского и Римана среди многомерных пространств постоянной римановой кривизны.

Н. г. в виде проективных моделей. Пусть на проективной плоскости введены проективные однородные координаты (x₁, x₂, x₃) и задана некоторая овальная линия второго порядка, обозначаемая дальше буквой k, например

x₁² + x₂² + x₃² = 0

Каждое проективное Отображение проективной плоскости на себя, которое оставляет на месте линию k, называется автоморфизмом относительно k. Каждый автоморфизм отображает внутренние точки линии k также во внутренние её точки. Множество всех автоморфизмов относительно линии k составляет группу (См. Группа). Пусть рассматриваются только точки проективной плоскости, лежащие внутри k; хорды линии k называются "прямыми". Две фигуры пусть считаются равными, если одна из них переводится в другую некоторым автоморфизмом. Так как автоморфизмы составляют группу, то имеют место основные свойства равенства фигур: если фигура А равна фигуре В, то В равна А; если фигура А равна фигуре В, а В равна фигуре С, то А. равна С. В получаемой т. о. геометрические теории будут соблюдены требования всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных: вместо этой последней аксиомы соблюдается аксиома о параллельных Лобачевского (см. рисунок, где показано, что через точку Р проходит бесконечно много "прямых", не пересекающих "прямой" а). Тем самым получается истолкование (двумерной) геометрии Лобачевского при помощи объектов проективной плоскости или, как говорят, проективная модель геометрии Лобачевского; линию k называют абсолютом этой модели. Автоморфизмы относительно k играют роль движений. Поэтому геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию, изучающую свойства фигур и связанные с фигурами величины, которые остаются неизменными при автоморфизмах; короче говоря, геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию инвариантов группы автоморфизмов относительно овального абсолюта.

Геометрия Римана (двумерная) допускает сходное истолкование; именно она является теорией инвариантов относительно нулевого абсолюта

x₁² + x₂² + x₃² = 0. (10)

При этом в качестве точек и прямых модели берутся все точки и прямые проективной плоскости; автоморфизмы определяются чисто алгебраически как линейные преобразования, которые переводят уравнение (10) в уравнение того же вида.

Евклидову геометрию также можно рассматривать как теорию инвариантов некоторой группы проективных преобразований, именно, группы автоморфизмов относительно вырожденного абсолюта

x₁² + x₂² = 0, x₃ = 0,

т. е. относительно мнимых точек (1, i, 0), (1, -i, 0); эти точки называют круговыми точками. Предметом модели являются все точки проективной плоскости, кроме точек прямой x₃ = 0, и все прямые проективной плоскости, кроме прямой x₃ = 0. В последнем случае автоморфизмы играют роль подобных преобразований, а не движений, как в случае Н. г.

Рассмотренные модели относятся к двумерным геометриям; проективные модели высших размерностей строятся аналогично.

Соответственно характеру уравнений абсолютов, геометрия Лобачевского называется гиперболической, геометрия Римана - эллиптической, геометрия Евклида - параболической.

Н. г. имеют существенные приложения в математике (теории аналитических функций, теории групп и др.) и смежных с нею областях (например, в теории относительности). Эти приложения основаны на том, что разнообразные конкретные модели Н. г. связаны с различными объектами и понятиями указанных разделов математики и смежных с нею областей. О значении Н. г. см. также Геометрия.

Лит.: Александров П. С., Что такое неевклидова геометрия, М., 1950; Клейн Ф., Неевклидова геометрия, пер. с нем., М. - Л., 1936; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.

Н. В. Ефимов.

Рис. к ст. Неевклидовы геометрии.